Wiki. “2-范畴” [2-范畴]

这里 $2$-范畴是所谓弱 $2$-范畴 (weak $2$-category) 而非严格 2-范畴 (strict $2$-category). 弱 $2$-范畴与严格 $2$-范畴的区别是, 其中态射的结合律和幺元律只在一个融贯 (coherent) 可逆 $2$-态射的意义下成立.

弱 $2$-范畴更有用些, 也更适合推广.

另一个不同的概念是双范畴 (double category).

定义

以下的定义又叫 bicategory, 它可以视为抽象的 $2$-范畴概念的一个模型.

$2$-范畴 $\mathcal C$ 由如下信息组成:

一个类 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$, 其中元素称为 $\mathcal C$ 的对象;
对 $x,y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 有一个小范畴 $\mathcal C (x,y)$, 其中的对象称作 $\mathcal C$ 的 $1$-态射 (横向态射), 态射称作 $\mathcal C$ 的 $2$-态射;
对 $x,y,z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 有一个函子 $\circ \colon \mathcal C(y,z)\times \mathcal C(x,y) \to \mathcal C(x,z)$, 称作横向复合 (每个 $\mathcal C(x,y)$ 中的复合称作纵向复合);
自然同构 $l_{x,y} \colon (1_y\circ{-}) \Rightarrow \operatorname{id}_{\mathcal C(x,y)}$, $r_{x,y}\colon ({-}\circ 1_x)\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal C(x,y)}$, 称作左右单位子;
结合子.

这些结构需满足如下条件:

所有态射都是等价的 $2$-范畴称为 $2$-群胚.

$2$-范畴是弱充实范畴于 $\mathsf{Cat}$ 的范畴.

范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 是 $2$-范畴, 而且是严格 $2$-范畴.

拓扑空间的基本 $2$-群胚是弱 $2$-群胚, 但也可以适当定义 (模去道路的细同伦) 使得它成为严格 $2$-群胚.

在 $2$-范畴 $\mathcal C$ 中, 一个对象 $a$ 到自身的态射构成一个幺半范畴 $\mathcal C(a,a)$, 其中的 “张量积” 为 $\mathcal C$ 的横向复合.

幺半范畴可视为仅有一个对象的 $2$-范畴.