Wiki. 2-范畴 [2-范畴]

观念

$2$-范畴是允许至多 $2$ 阶不可逆态射的高阶范畴.

$2$-范畴的概念在文献中也称为 “弱 $2$-范畴 (weak $2$-category)”, 这是为了区分 2-范畴与严格 2-范畴 (strict $2$-category). 两者的区别是, 2-范畴中态射复合的结合律和幺元律是由一个可逆 $2$-态射给出, 是结构而非性质.

另一个不同的概念是双范畴 (double category).

定义

传统

$2$-范畴 $\mathcal C$ 由如下信息组成:

• 一个类 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$, 其中元素称为 $\mathcal C$ 的对象;
• 对 $x,y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 有一个小范畴 $\mathcal C (x,y)$, 其中的对象称作 $\mathcal C$ 的 $1$-态射 (横向态射), 态射称作 $\mathcal C$ 的 $2$-态射;
• 对 $x,y,z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 有一个函子 $\circ \colon \mathcal C(y,z)\times \mathcal C(x,y) \to \mathcal C(x,z)$, 称作横向复合 (每个 $\mathcal C(x,y)$ 中的复合称作纵向复合);
• 自然同构 $l_{x,y} \colon (1_y\circ{-}) \Rightarrow \operatorname{id}_{\mathcal C(x,y)}$, $r_{x,y}\colon ({-}\circ 1_x)\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal C(x,y)}$, 称作左右单位子;
• 结合子.

这些结构需满足如下融贯条件:

• 三角形公理 ($g\circ 1\circ f$ 的结合);
• 五边形公理 (四个态射的结合).

所有态射都是等价的 $2$-范畴称为 $2$-群胚.

作为弱充实范畴

$2$-范畴是充实于 $\mathsf{Cat}$ 的范畴.

例

范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 是 $2$-范畴.

拓扑空间的基本 $2$-群胚是 $2$-群胚.

性质

与幺半范畴的联系

在 $2$-范畴 $\mathcal C$ 中, 一个对象 $a$ 到自身的态射构成一个幺半范畴 $\mathcal C(a,a)$, 其中的 “张量积” 为 $\mathcal C$ 的横向复合.

幺半范畴可视为仅有一个对象的 $2$-范畴.