Wiki. 筛范畴 [筛范畴]

定义

筛范畴 (sifted category) 是满足如下等价条件的小范畴 $I$:

• $\mathsf{Ani}$ 中 $I$-余极限与有限乘积交换, 具体地说, 对任意有限集 $S$ 以及函子 $F\colon I\times S\to\mathsf{Ani}$, $$ \operatorname{colim}_{i\in I}\prod_{s\in S}F(i,s)\to\prod_{s\in S}\operatorname{colim}_{i\in I}F(i,s) $$ 为同构;
• 对角线 $I\to I\times I$ 为共尾函子 (final functor, 又叫 cofinal functor, 意为沿该函子的限制不改变余极限);
• 对任意有限集 (有限离散范畴) $S$, 对角线 $I\to I^S$ 为共尾函子;
• 对任意两个对象 $i_1,i_2\in I$, 范畴 $\operatorname{cospan}(i_1,i_2)$ (其对象为 $i\in I$ 以及态射 $i_1\to i$, $i_2\to i$) 连通.

以筛范畴为指标范畴的余极限称为筛余极限 (sifted colimit).

例

单纯形范畴的对偶 $\Delta^{\mathrm{op}}$ 为筛范畴. 以此为指标的余极限叫单纯对象的几何实现, 也叫杠构造.