Wiki. “Joyal 模型结构” [Joyal模型结构]

Joyal 模型结构是单纯集 (的范畴) 上的一个模型范畴, 满足

Lurie 的方法: 先定义单纯范畴上的模型结构, 再通过 $\mathfrak C\colon\mathsf {sSet}\to\mathsf {Cat}_{\Delta}$ 转移.

我们使用 Joyal 的方法.

单纯集上的模型结构

定义. 对于单纯集的映射 $f\colon X\to Y$, 称之为范畴性等价 (categorical equivalence) 是指对任意拟范畴 $Z$, $$ \pi_0(\mathsf {Fun}(Y,Z)^\simeq)\to \pi_0(\mathsf {Fun}(X,Z)^\simeq) $$ 为双射.

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这里所有单纯集都是余纤维性 (cofibrant) 的.

命题. 内角形的嵌入 $\Lambda_i^n\to \Delta^n$ 是范畴性等价.

命题. 范畴性等价都是单纯集的弱同伦等价.

命题. 恒等函子 $\mathsf {sSet}^{\text{Joyal}} \to \mathsf {sSet}^{\text{Kan-Quillen}}$ 给出 Quillen 伴随.

与单纯范畴上的模型结构的比较

定义. 单纯范畴之间的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 称为弱等价是指

  • $\pi_0 F$ 为等价,
  • $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(x,y)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Fx,Fy)$ 为弱同伦等价.

定理 (Lurie). 单纯范畴的范畴上存在一个模型结构, 其中弱等价如上定义, 纤维性对象恰为 Hom 为 Kan 复形的单纯范畴.

存在如下伴随比较两个模型结构. $$ \mathfrak C \colon \mathsf {sSet}^{\text{Joyal}} \leftrightarrows \mathsf {Cat}_{\Delta} \colon \mathfrak N $$ (其中 $\mathfrak C$ 由如下要求确定: 函子 $\mathfrak C[\Delta^n]\to \mathcal C$ 是 $\infty$-函子 $[n]\to \mathcal C$ 的模型, 一般地 $\mathfrak C[S]\to\mathcal C$ 是 “同伦融贯交换图” 的模型, 见同伦融贯脉.)