Wiki. 链复形 [链复形]

参考 HA 1.2.2 节.

设范畴 $\mathcal C$ 具有零对象 $0$. 考虑一个全序集 $\mathcal J$, 视为范畴; 记 $\mathcal J^{\to}$ 为其箭头范畴. 定义 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal J$-链复形为如下资料:

• 函子 $F\colon \mathcal J^{\to} \to \mathcal C$;
• 对任意 $i\in\mathcal J$, $F(i,i)=0$;
• 对任意 $i\leq j\leq k$, 下图为推出方块. $$ \begin{array} {ccc} F(i,j) & \to & F(i,k) \\ \downarrow & & \downarrow \\ F(j,j) & \to & F(j,k). \end{array} $$

记 $\mathsf{Gap}(\mathcal J,\mathcal C)$ 为 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal J$-链复形的范畴构成的 $\mathsf{Fun}(\mathcal J^{\to},\mathcal C)$ 的全子范畴.

全序集有最小元的情形

注意到, 当 $\mathcal J$ 有最小元 $-\infty$ 时, 由于有推出方块 $$ \begin{array} {ccc} F(-\infty,j) & \to & F(-\infty,k) \\ \downarrow & & \downarrow \\ F(j,j)=0 & \to & F(j,k), \end{array} $$ 也即 $F(j,k)$ 能写成余纤维 $$ F(j,k) = \operatorname{cofib}(F(-\infty,j)\to F(-\infty,k)), $$ 故一个 $\mathcal J$-链复形 $F$ 完全由函子 $F(-\infty,-)\colon \mathcal J\backslash \{-\infty\}\to\mathcal C$ 决定. 事实上, 上述推出方块的条件表明 $F$ 可由其在子范畴 $$ \{(i,j)\mid i=-\infty \lor i=j\} $$ 上的限制通过左 Kan 扩张复原出来, 而其中 $i=j$ 的部分的值已经规定为 $0$, 所以 $F$ 的信息本质上只有一个函子 $F(-\infty,-)\colon \mathcal J\backslash \{-\infty\} \to \mathcal C$, 并且对这个函子没有任何其它要求, 也即有等价 $$ \mathsf{Gap}(\mathcal J,\mathcal C) \simeq \mathsf{Fun}(\mathcal J\backslash\{-\infty\},\mathcal C). $$

特别地, 当 $\mathcal J\backslash\{-\infty\} = (\mathbb{Z},\leq)$ 时, $\mathcal J$-链复形等同于 $\mathcal C$ 中的滤对象 $(\mathbb{Z},\leq) \to \mathcal C$, 链复形的每一项是滤对象的一个余纤维.

稳定范畴的情形

设 $\mathcal C$ 是稳定范畴, $F$ 是 $\mathcal J$-链复形. 由于余纤维列等同于纤维列, 从而有同伦群的长正合列 $$ \begin{aligned} \cdots&\to\pi_n X(i,j) \to \pi_n X(i,k) \to \pi_n F(j,k) \\ &\to \pi_{n-1} X(i,j) \to\cdots \end{aligned} $$

定义谱序列的第一页: 对于 $p,q\in\mathbb{Z}$, $$ E_1^{p,q} = \pi_{p+q} X(p-1,p), $$ 定义 $$ d_1\colon E_1^{p,q} \to E_1^{p-1,q} $$ 就是前述长正合列中的同态 $$ \delta\colon \pi_{p+q} X(p-1,p) \to \pi_{p+q-1} X(p-2,p-1). $$