Wiki. Day 卷积 [Day卷积]

设 $\mathcal C,\mathcal D$ 为对称幺半范畴, $\mathcal D$ 余完备且 $\otimes_{\mathcal D}$ 保持每个分量的余极限, 则函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ 上有一个对称幺半范畴结构, 称为 Day 卷积.

定义

使用 Kan 扩张

对于 $X,Y \in \mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ 记 $X \boxtimes Y\in \mathsf{Fun}(\mathcal C\times\mathcal C,\mathcal D)$ 为其外张量积, 即 $$ (X\boxtimes Y)(c,c') = X(c) \otimes_{\mathcal D} Y(c'). $$ $X$ 与 $Y$ 的 Day 卷积可定义为 $X\boxtimes Y$ 沿 $\otimes_{\mathcal C} \colon \mathcal C\times\mathcal C \to \mathcal C$ 的左 Kan 扩张: $$ X \otimes_{\text{Day}} Y := \operatorname{LKE}_{\otimes_{\mathcal C}} (X \boxtimes Y), $$ 具体地, $$ (X \otimes_{\text{Day}} Y)(c) = \operatorname{colim}_{c' \otimes c'' \to c} X(c') \otimes_{\mathcal D} Y(c''). $$

性质

$\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ 中的交换代数为松对称幺半函子.

更一般地, 对任意对称幺半范畴 $\mathcal C$ 以及 算畴 $\mathcal O$, 存在算畴 $\mathsf{Day}_{\mathcal C}(\mathcal O)$ 满足对任意算畴 $\mathcal P$, $$ \mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathsf{Day}_{\mathcal C}(\mathcal O))\simeq \mathsf{Alg}_{\mathcal P\times_{\mathsf{Fin}_*}\mathcal C^\otimes}(\mathcal O). $$ 换言之, $\mathsf{Day}_{\mathcal C}$ 是 $-\times_{\mathsf{Fin}_*}\mathcal C^\otimes$ 的右伴随.