Wiki. 对称序列 [对称序列]

观念

对称序列是一种可用于定义算畴的结构.

定义

考虑有限集合与双射构成的范畴 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$, 配备无交并构成对称幺半范畴. (它是由一个对象生成的自由对称幺半范畴.)

对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中的对称序列是函子 $$ \mathsf{Fin}^{\simeq} \to \mathcal C. $$

更直白地说, 一个对称序列就是一列 $\Sigma_n$-表示. (群 $G$ 在 $\mathcal C$ 的对象上的表示就是 $\mathbf{B}G$ 到 $\mathcal C$ 的函子).

性质

对称幺半结构

设对称幺半范畴 $\mathcal C$ 还具有余积, 且 $X\otimes -$ 保持余积. 那么对称序列上还有一个由 Day 卷积给出的对称幺半结构; 具体地, $$ (X\otimes Y)_n = \bigsqcup_{p+q=n} \operatorname{Ind}_{\Sigma_p\times\Sigma_q}^{\Sigma_n} (X_p\otimes Y_q). $$ 其中 $\operatorname{Ind}$ 是沿 $\Sigma_p\times \Sigma_q\hookrightarrow\Sigma_n$ 的 诱导表示, 即限制表示的左伴随.

线性空间的对称序列

固定一个域 $k$, 记 $\mathsf{Vect}$ 为 $k$-线性空间范畴的导出范畴. $\mathsf{Vect}$ 中的对称序列构成的范畴是 $$ \mathsf{Vect}^\Sigma:= \mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathsf{Vect}) \simeq \prod_{n\geq 1} \mathsf{Rep}(\Sigma_n). $$ 它也是由一个对象生成的自由对称幺半 DG 范畴. 见 Gaitsgory–Rozenblyum 导出代数几何讲义 (关于 Lie 代数与 Koszul 对偶的一节). 换言之, 它是遗忘函子 $U\colon \mathsf{DGCat}^{\text{SymMon}} \to \mathsf{Cat}$ 的表示对象. 因此由 $(\infty,2)$-范畴版本的米田引理, $$ \mathsf{Vect}^\Sigma \simeq \mathsf{Fun}^{\text{SymMon}}(\mathsf{Vect}^\Sigma,\mathsf{Vect}^\Sigma) \simeq \operatorname{End}(U). $$