Wiki. “米田引理” [米田引理]

错误示例

我们知道对于两个集合 $A,A'$, 若自由群 $FA$ 与 $FA'$ 同构, 则 $A$ 与 $A'$ 作为集合同构 (等势). 这个事实可以通过 Abel 化再与 $\mathbb{Q}$ 作张量积求线性空间维数来证明.

然而, 一位朋友提出了如下使用米田引理的证明. 由于自由-遗忘伴随 $$

F \colon \mathsf {Set} \leftrightarrows \mathsf {Grp} \colon U

$$

我们有自然同构 $$

\operatorname{Hom}{\mathsf {Grp}}(F-,-) \simeq \operatorname{Hom}{\mathsf {Set}}(-,U-).

$$ 条件中的同构 $FA \simeq FA'$ 给出了函子的自然同构 $$

\operatorname{Hom}{\mathsf {Grp}}(FA,-) \simeq \operatorname{Hom}{\mathsf {Grp}}(FA’,-)

$$ 从而有函子的自然同构 $$

\operatorname{Hom}{\mathsf {Set}}(A,U-) \simeq \operatorname{Hom}{\mathsf {Set}}(A’,U-)

$$ 由于对任意集合 $C$, 存在群 $B$ 使得 $C \simeq UB$, 这说明有自然同构 $$

\operatorname{Hom}{\mathsf {Set}}(A,-) \simeq \operatorname{Hom}{\mathsf {Set}}(A’,-),

$$ 最后, 由米田引理, 这说明 $$

A \simeq A’.

$$

相关概念

点函子