Wiki. “微分层” [微分层]

仿射情形

设 $k$ 为域, $A$ 为 $k$-代数, $X=\operatorname{Spec}A$.

参见 Kähler 微分.

光滑性

称 $X$ 光滑, 是指 $\Omega^1$ 是有限生成投射 $\mathcal O_X$-模 (参见投射对象) , 即它是局部自由有限秩的.

微分算子

定义 $D_A$ 为 $A$ 和 $\operatorname{Der}A$ 在 $\operatorname{End}A$ 中共同生成的代数.

命题. 对任意 $p\in X$ 存在邻域 $U$ 以及函数 $x_i\in\mathcal O_U\,(1\leq i \leq n)$ 使得 $$ D(U) \simeq \bigoplus_\alpha \mathcal O_U \partial_1^{\alpha_1}\cdots \partial_n^{\alpha_n} $$ 其中 $[\partial _i, \partial _j]=0$, $[\partial _i, x_j]=\delta_{ij}$.

设 $I$ 是 $\Delta\colon X\to X\times X=\operatorname{Spec}(A\otimes A)$ 对应的 $A\otimes A$ 的理想.

考虑 $\mathcal E=\operatorname{End}A$ 作为 $A$-双模, 即为 $X\times X$ 上的层.

令 $$ F_n = \{P\in \mathcal E: I^{n+1}P = 0\}. $$ 例.

$IP=0$ 等价于 $$ (1\otimes a - a \otimes 1)P= [P,a]=0\, \forall a\in A. $$ 即 $P(b)=bP(1)$.

$F_n$ 给出了 $D$ 的滤过: $$ D = \bigcup_0^\infty F_n. $$ 且有 $$ F_{n+1}=\{P: [P,a]\in F_n\forall a\in A\}. $$ 因为 $P\in F_n$ 完全由 $A/\mathfrak m^{n+1}$ 上的限制决定, $\mathfrak m$ 为 $P$ 的极大理想 (?).

例

$\mathbb P^1 = \mathbb A^1_1 \cup \mathbb A^1_2$, 两个直线分别为 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 与 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[y]$, $x=y^{-1}$. 微分层在两个直线上的取值分别为 $\Omega^1 |_{\mathbb A^1_1} = \mathbb{C}[x] dx$, $\Omega^1|_{\mathbb A^1_2} = \mathbb{C}[y] dy$.

两个截面有关系 $dx=-y^{-2}dy$, 这说明 $\Omega^1 \simeq \mathcal O(-2)$, 而 $\partial _x = -y^2 \partial _y$, 说明 $T_{\mathbb P^1} \simeq \mathcal O(2)$.

记 $S^n$ 为对称积, 则局部上有 (不典范的) 同构 $$ D|_{\mathbb A^1} = \bigoplus_{n\geq 0} S^n T_{\mathbb A} $$

$D$ 的滤过 $$ F_0 D \subset F_1 D \subset \cdots \subset D $$ $F_1 D|_{\mathbb A} = \mathbb{C}[x] \oplus \mathbb{C}[x] \partial _x$,