Wiki. “D-模” [D-模]

D-模简而言之就是微分算子环上的模.

起源: 微分方程组

经典的微分方程理论研究的是方程组 $$ \sum_{j=1}^p R_{ij} u_j =0,\quad 1\leq i \leq q, $$ 其中 $R_{ij}$ 为线性微分算子, $u_j$ 为变量 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数.

以代数的语言叙述这个问题, 设 $A$ 是某个函数环, 如光滑函数环, 复解析函数环, 多项式环等等. 设 $\mathcal{D}$ 是 $A$-系数的微分算子的环. 微分算子 $R_{i,j}$ 构成了左 $\mathcal D$-模的态射 $$ R\colon \mathcal D^p \to \mathcal D^q. $$ 现在设微分方程的解所生活的空间是另一个 $\mathcal D$-模 $N$ (例如 $A$ 本身). 微分方程的解可表示为态射 $u\colon \mathcal D^q\to N$, 而微分方程组则可表示为复合 $u\circ R = 0$.

定义 $\mathcal D$-模 $M=\operatorname{coker}R$, 由余核的泛性质, 微分方程的解等同于 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(M,N)$. $$ \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \mathcal D^p & \overset{R}{\to} & \mathcal D^q &\to & M & \to & 0\\ &&&&& \hspace{-1em}u\searrow & \downarrow &&\\ &&&&&& N && \end{array} $$ 这就是说, 微分方程组等同于有限表现的左 $\mathcal D$-模.

我们需要处理微分方程局部的解; 而一个解沿闭合路径一周的解析延拓可能与原来不同, 这种现象称作单值 (monodromy). 因此我们需要研究局部的解如何连接起来成为整体的解. 这时层论是处理这种问题最合适的语言. 将环 $A$ 与模 $\mathcal D$ “变为层”, 就得到 $X$ 上的微分算子层 $D_X$.

我们研究的主要对象是局部有限表现的 $D_X$-模, 也即凝聚层 $D_X$-模. 我们最关心的函子是 $$ \mathcal Hom_{D_X}(-,\mathcal O_X)\colon \mathsf {Mod}_{\text{coh}}(D_X) \to \mathsf {Mod}(\mathbb{C}_X), $$ 而它不是正合函子; 故我们需考虑它的导出函子即 “高阶解” $\mathcal Ext^\bullet_{D_X}(-,\mathcal O_X)$.

特征簇

设 $p=q=1$, $R$ 的特征簇是

定义

设 $X$ 是 $\mathbb C$ 上的光滑代数簇. $X$ 上的 D-模是正则微分算子层 $D_X$ 上的模. 左 $D_X$-模即带有 $D_X$ 作用的 $\mathcal{O}_X$-模, 等同于线性映射 $$ \nabla\colon D_X \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(M), $$ 满足

  • $\nabla_{fv}(m)=f\nabla_v(m)$;
  • $\nabla_v(fm)=v(f) m + f\nabla_v m$;
  • $\nabla_{[v,w]}m=[\nabla_v,\nabla_w]m$.

$X$ 上的 D-模也可视为带有可积联络的拟凝聚 $\mathcal{O}_X$-模.

函子性

与凝聚层类似, 不同代数簇上的 D-模由推出和拉回联系起来.

和乐

设 $M$ 为凝聚 $D_X$-模. 若其特征簇满足 $\dim \operatorname{Ch}(M)=\dim X$, 即特征簇的维数取到最小可能值, 则称 $M$ 为和乐 (holonomic) 的.

和乐 $D_X$-模是线性常微分方程在高维复流形的自然推广.

例

函数层作为 D-模

函数层 $\mathcal O_X$ 是 D-模, 且可表现为 $$ \mathcal O_X \simeq \mathcal D_X / \mathcal D_X T_X. $$ 对于一般的 D-模 $M$, D-模同态 $\mathcal O_X \to M$ 等同于 $M$ 的平坦截面, 即被 $T_X$ 零化的截面.

向量丛

设 $E$ 是 $X$ 上带有可积联络 $\nabla$ 的向量丛, 也即局部形如 $\bigoplus_i \mathcal O_U e_i$ 的层.

回忆联络 $\nabla$ 可视为丛映射 $TX\to \operatorname{End}(E)$, 满足

  • $\nabla_{av}=a\nabla_v$;
  • $\nabla_v(as)=v(a)s+a\nabla_v s$;
  • $\nabla_{[v,w]}=[\nabla_v,\nabla_w]$ (称为可积性或平坦性; 见可积联络).

此时左 $D_X$-模结构即由 $v\cdot s = \nabla_v s$ 给出.

“δ 函数” D-模

对于 $X$ 的闭点 $x$, 有 D-模 $$ \delta_x:= \mathcal D_X / \mathcal D_X\mathfrak m_x\otimes_k\operatorname{det}T_xX. $$ D-模同态 $\delta_x \to M$ 等同于 $M$ 上被 $\mathfrak m_x$ 零化的截面. 与直线 $\operatorname{det}T_xX$ 作张量积的目的是使得存在典范同构 $$ f_*\delta_x \simeq \delta_{f(x)}. $$

$\delta_x$ 是由 $\delta$ 函数和它的各阶导数张成的向量空间.

对偶层

对偶层 $\omega = \det \Omega^1$

由于 Lie 导数 $L_v = [\iota_v, d]$, 对于 $\alpha\in\omega$ 有 $L_v\alpha = d \iota_v \alpha$.

对偶层可以把右 D-模变成左 D-模: $$ D^{\text{op}} = \omega\otimes D \otimes \omega^{-1} $$

摩天大楼 D-模

$p\in X$, 定义 $$ M_p = D_X / D_X () $$

与 de Rham 空间的关系

$X$ 上的 D-模等同于 $X$ 的 de Rham 空间上的拟凝聚层.