Wiki. 线性偏微分方程 [线性偏微分方程]

定义

朴素定义

线性偏微分方程 (linear PDE) 是如下形式的方程 (组): $$ \sum_{j=1}^p R_{ij} u_j =0,\quad 1\leq i \leq q, $$ 其中 $R_{ij}$ 为线性微分算子, $u_j$ 为变量 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数. 名称中 “线性” 的意思是, 方程的若干个解的 (常系数) 线性组合仍是一个解.

抽象定义

设 $D$ 是某种线性微分算子构成的结合代数. 定义线性偏微分方程组为左 $D$-模同态 $$ R\colon D^p \to D^q. $$ 这相当于 $D$ 上的一个矩阵 $(R_{ij})$. 注意在同态 $R$ 中, $R_{ij}$ 是右乘在 $D^p$ 的分量上.

对于左 $D$-模 $N$, 定义上述的 $R$ 在 $N$ 中的解为左 $D$-模同态 $u\colon D^q\to N$, 满足 $$ u\circ R = 0. $$ 这相当于选取 $N$ 的 $q$ 个元素 $u_i\,(1\leq i\leq q)$ 满足 $$ \sum_{j=1}^p R_{ij} u_j =0,\quad 1\leq i \leq q, $$ 即得到朴素的定义.

换言之, 线性偏微分方程组 $R$ 在 $N$ 中的解空间就是 $$ \operatorname{Hom}_{D}(\operatorname{coker}R,N). $$ 这个解空间仅依赖于 $\operatorname{coker}R$ 这个左 $D$-模, 而同态 $R$ 是这个左 $D$-模的表现. 于是我们发现线性偏微分方程组就是左 $D$-模的表现.