Wiki. “微分算子” [微分算子]

另见拟微分算子.

局部坐标定义

对于流形上两个复向量丛 $E,F\to M$, 微分算子 $D\colon\Gamma(E)\to \Gamma(F)$ 是线性映射, 局部上由下式给出: $$ D=\sum_\alpha A_\alpha \partial^\alpha, $$ 其中 $A_\alpha\colon \mathbb{R}^n\to\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^p,\mathbb{C}^q)$.

内蕴定义 1: 交换子

对于 $f\in C^\infty(M)$ 与微分算子 $D\colon \Gamma(E)\to \Gamma(F)$, 定义“交换子“ $[D,f]\colon \Gamma(E)\to\Gamma(F)$, $s\mapsto D(fs)-f(Ds)$.

定义 $0$ 阶算子 $D$ 为与任意函数 $f$ 的交换子都为 $0$ 的算子, 这等价于 $D$ 是向量丛的态射.

归纳地定义 $n$ 阶算子: 若算子 $D$ 与任意函数的交换子都不超过 $(n-1)$ 阶, 则称算子 $D$ 的阶不超过 $n$. 换言之, 算子 $D$ 的阶 $n$ 是满足如下条件的最大整数: $D$ 依次与任意 $n$ 个函数作交换子, 结果都是向量丛的态射.

内蕴定义 2: 生成元

向量丛 $E$ 到自身的微分算子的代数也可定义为由 $\operatorname{End}(E)$ 的截面 (即 $0$ 阶微分算子) 与 $E$ 上所有的协变导数 $\nabla_X$ ($X$ 是向量场) 所共同生成的代数. 这样, 这个代数上就有自然的滤过结构 (但不是分次结构).