Wiki. 双陪集空间 [双陪集空间]

对于群 $G$ 的子群 $H,K$, 双陪集空间 $H \backslash G / K$ 是 $G$ 关于 $H$ 的左乘作用和 $K$ 的右乘作用的商空间.

双陪集空间 $H \backslash G / K$ 也可以表示为 $$ \mathbf{B}H \times_{\mathbf{B}G} \mathbf{B}K. $$ (当前者指的是商集合时, 其表示为后者的 $\pi_0$.)

当 $H=K$ 时, 双陪集空间 $H\backslash G / H$ 带有一个乘法结构, 称为卷积. 使用前述表示方法, 卷积可表示为 $$ \begin{aligned} &(\mathbf{B}H \times_{\mathbf{B}G} \mathbf{B}H)\times_{\mathbf{B}H} (\mathbf{B}H \times_{\mathbf{B}G} \mathbf{B}H)\\ &\simeq \mathbf{B}H \times_{\mathbf{B}G}\mathbf{B}H \times_{\mathbf{B}G}\mathbf{B}H\\ &\to \mathbf{B}H \times_{\mathbf{B}G}\mathbf{B}H, \end{aligned} $$ 其中最后一个映射是投影到第一和第三分量.