Wiki. “有限域” [有限域]

性质

存在唯一性

命题. 对素数 $p$ 和整数 $n\geq 1$, 存在 $p^n$ 个元素的域, 且任何 $p^n$ 元域都是 $x^{p^n}-x$ 在 $\mathbb F_p$ 上的分裂域, 从而 $p^n$ 元域在同构意义下唯一.

证明. 考虑 $\mathbb F_p$ 的一个代数闭包 $\overline{\mathbb F_p}$, 则其中 $x^{p^n}-x$ 恰有 $p^n$ 个根, 这些根互不相同, 且构成一个 $p^n$ 元域. 另一方面, 任何 $p^n$ 元域都嵌入 $\mathbb F_p$ 的某个代数闭包, 且为其中多项式 $x^{p^n}-x$ 的根. 结论得证.

Galois 群

命题. 设 $q=p^n$, 则 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\mathbb F_q/\mathbb F_p)$ 同构于 $\mathbb{Z}/n$, 有生成元 $\alpha\mapsto \alpha^p$.