Wiki. Weil 群 [Weil群]

Weil 群是局部域或整体域的绝对 Galois 群的一个变体.

如下陈述引自 Dustin Clausen 关于推广 Weil 群的演讲.

回忆数域 $F$ 的绝对 Galois 群可以写成 $$ G_F = \lim_{\text{有限 Galois 扩张 }E/F}\operatorname{Gal}(E^{\mathrm{ab}}/F), $$ 其中 $E^{\mathrm{ab}}$ 是 $E$ 的极大 Abel 扩张, $\operatorname{Gal}(E^{\mathrm{ab}}/F)$ 可置于如下短正合列中: $$ 1 \to G_E^{\mathrm{ab}} \to \operatorname{Gal}(E^{\mathrm{ab}}/F) \to \operatorname{Gal}(E/F) \to 1. $$ 类似地, Weil 群也可以写成 $$ W_F = \lim_{\text{有限 Galois 扩张 }E/F}W(E/F), $$ 其中 $W(E/F)$ 可置于如下短正合列中: $$ 1 \to C_E \to W(E/F) \to \operatorname{Gal}(E/F) \to 1. $$ 上述的表现使得我们有一个同态 $W_F \to G_F$.

定义

Tate, Number Theoretic Background

设 $F$ 为局部域或整体域, $\overline{F}$ 为其可分闭包.

对 $F$ 在 $\overline{F}$ 中的有限扩张 $E$, 记 $G_E = \mathrm{Gal}(\overline{F}/E)$. 记 $C_E$ 为如下群:

  • 局部域的情形, $C_E = E^\times$;
  • 整体域的情形, $C_E$ 为理元类群 (idele class group) $\mathbb A_E^\times / E^\times$.

定义 Weil 群为三元组 $(W_F, \varphi, \{r_E\})$, 其中

  • $W_F$ 为拓扑群, $\varphi \colon W_F \to G_F$ 为连续同态, 其像稠密 ($\varphi$ 连续意味着 $W_E := \varphi^{-1}(G_E)$ 是 $W_F$ 的开子集, 而其像稠密意味着 $\varphi$ 给出的映射 $W_F/ W_E \simeq G_F / G_E = \operatorname{Hom}_F(E,\overline{F})$ 是双射);
  • 对每个 $E$ 有同构 $r_E \colon C_E \to W_E^{\mathrm{ab}}$, 满足如下条件.
    • 复合 $C_E \to W_E^{\mathrm{ab}} \overset{\varphi}{\to} G_E^{\mathrm{ab}}$ 是类域论中的互反律同态;
    • 对于 $w\in W_F$, 记 $\sigma = \varphi(w) \in G_F$, 则 $\sigma \colon C_E \to C_{E^\sigma}$ 与 $w$ 的共轭 $W_E^{\mathrm{ab}} \to W_{E^\sigma}^{\mathrm{ab}}$ 相容;
    • 对于 $E' \subset E$, 含入映射 $C_{E'} \subset C_{E}$ 与 “转移” 映射 $W_{E'}^{\mathrm{ab}} \to W_{E}^{\mathrm{ab}}$ 相容;
    • $W_F \simeq \operatorname{lim}_E W_{E/F}$, 其中 $W_{E/F} := W_F / W_E^c$ 称为相对 Weil 群.

$p$-进域的情形

$p$-进局部域 (即 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张) $F$ 的 Weil 群 $W_F$ 是如下拉回: $$ \begin{array} {ccc} W_F & \to & \mathbb{Z} \\ \downarrow && \downarrow \\ \operatorname{Gal}(\overline{F}/F) & \to & \operatorname{Gal}(\overline{k}/k)=\widehat {\mathbb{Z}}. \end{array} $$

关于典范性的评注. 与绝对 Galois 群类似, Weil 群对于给定的域 $F$ 并不是典范的, 而是相差一个共轭, 因为它依赖于可分闭包的选取. 但是, 与绝对 Galois 群类似, 群 $W_F$ 的分类空间 $\mathbf{B}W_F$ 是典范的.

例

  • $\mathbb{C}$ 的 Weil 群是 $\mathbb{C}^\times$.
  • $\mathbb{R}$ 的 Weil 群是 $W_\mathbb{R} = \mathbb{C}^\times \sqcup j\mathbb{C}^\times$, 其中 $j^2=-1$, $jcj^{-1}=\bar{c}$ ($c\in \mathbb{C}^\times$). 这个群处于如下正合列中: $$ 1\to \mathbb{C}^\times\to W_{\mathbb{R}} \to\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \to 1. $$