Wiki. “非分歧素理想” [非分歧素理想]
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定义
设 $K/L$ 是数域的扩张, $v$ 是 $\mathcal O_L$ 的素理想. $v$ 在 $K$ 中分裂为素理想的乘积, 记 $w$ 为其中之一, $D_w$ 为 $\operatorname{Gal}(K/L)$ 中保持理想 $w$ 的子群, 有同态 $D_w \to \operatorname{Gal}(\mathcal O_K/w, \mathcal O_L/v)$. 这个同态的核成为惯性子群 (inertia group) $I_w$. 若 $I_w=1$, 则称扩张 $K/L$ 在 $v$ 处非分歧 (unramified).
另一个定义是, $\mathcal O_L$ 的素理想 $p$ 在 $K$ 中分歧是指其在 $\mathcal O_K$ 中分解为 $q_1^{e_1}\cdots q_n^{e_n}$, 且某个 $e_i$ 大于 $1$, 此 $e_i$ 称为分歧指数 (ramification index).
性质
相对判别式 (relative discriminant) $\Delta_{L/K}$ 是 $\mathcal O_K$ 的一个理想, 可用于判断素理想是否分歧: 素理想 $p$ 分歧当且仅当 $p$ 整除 $\Delta_{L/K}$.
例
$F = \mathbb{Q}$, $K = \mathbb{Q}(\zeta_N)$, $\operatorname{Gal}(K/F)\simeq (\mathbb{Z}/N)^\times$, $\mathcal O_F=\mathbb{Z}$, $\mathcal O_K=\mathbb{Z}[\zeta_N]$. 考虑素理想 $v=(p)$, 其非分歧当且仅当 $p$ 不整除 $N$.