Wiki. “群上同调” [群上同调]
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#代数
定义
一般定义
使用无穷范畴语言, 设 $G$ 是无穷意象 $\mathsf H$ 中的群对象, 设 $BG$ 为其逆环路空间. $G$ 在对象 $V$ 上的作用等同于纤维序列 $$ V \to V//G \to BG, $$ 在俯范畴 $\mathsf H/BG$ 中这就是 $x\colon BG \vdash V(x)\colon \mathsf {Type}$ 的范畴语义. 定义 $$ H^1_{\text{Grp}}(G,V) := \operatorname{Hom}_{\mathsf H/BG}(BG,V), $$ 其中 $BG$ 表示俯范畴的终对象. 这是 $\vdash \prod_{x\colon BG}(* \to V )\colon \mathsf {Type}$ 的范畴语义.
普通群与 Abel 系数
对于普通群 $G$, 带 $G$-作用的 Abel 群等同于 $\mathbb{Z}[G]$-模. 其不变元由 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},-)$ 给出 ($\mathbb{Z}$ 带有平凡 $G$-作用). 群上同调是其导出函子, $$ H^n_{\text{Grp}}(G,A):=\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},A). $$ 给定投射消解 (杠消解) $F_\bullet \to \mathbb{Z}$, 有 $$ H^n_{\text{Grp}}(G,A) \simeq H^n(\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(F_\bullet,A)). $$
非 Abel 群上同调
If the coefficient group $K$ is nonabelian, its higher deloopings $B^nK$ do not exist. But $n$-groupoids approximating this non-existant delooping do exists. Cohomology of $BG$ with coefficients in these is called nonabelian group cohomology.
性质
与群扩张的关系
设 $G$ 为群, $M$ 为 $G$-模, 则 $H^2(G,M) = \operatorname{Ext}^2_{\mathbb{Z}[G]} (\mathbb{Z},M)$ 分类了群扩张 $$ 0 \to M \to L \to G \to 0, $$ 其中 $L$ 为 $G$-模, $M$ 上的 $G$-模结构继承自 $L$.
注意区分这个结论与模的扩张: $\operatorname{Ext}^1_R(M,N)$ 分类了扩张 $0\to N\to L \to M\to 0$, 其中 $M,N,L$ 均为 $R$-模.
设 $\mathcal A$ 为 Abel 范畴, $\operatorname{Ext}^1(A,B)$ 的元素是态射 $A \to B[1]$, 其核给出典范三角 $K\to A\to B[1]$, 旋转得到 $B\to K\to A$.
$H^2(G,M)$ 的元素是 $BG\to B^2M$, 取其圈, 得到 $G\to BM$.
例
射影表示
命题. 群 $G$ 的射影表示 $G\to PGL(V)$ 由 $H^2(G,U(1))$ 分类.