Wiki. Eilenberg–MacLane 对象 [Eilenberg–MacLane空间]

定义

对正整数 $n$ 与群 $G$ (当 $n>1$ 时要求为 Abel 群), Eilenberg–MacLane 空间 $K(G,n)$ 是同伦等价意义下唯一以 $G$ 为 $n$ 阶同伦群的 $n$-截断 $(n-1)$-连通空间.

定义. 在 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中, 定义 $n$ 阶 Eilenberg–MacLane 对象是指带点 $n$-截断 $(n-1)$-连通对象. 记 $n$ 阶 Eilenberg–MacLane 对象的范畴为 $\mathsf{EM}_n(\mathcal C) = \mathcal C_{*/}^{\geq n,\leq n}$.

Eilenberg–MacLane 对象 $(X,*)$ 被它的 $n$ 阶同伦群 $\pi_n(X,*)$ 唯一决定. 证明见后文.

注. Eilenberg–MacLane 对象的定义中带点条件很重要. 不带点的 $n$-截断 $(n-1)$-连通对象称为 $n$-束 (gerbe).

性质

命题 (HTT 7.2.2.12). 设 $\mathcal C$ 为 $\infty$-意象, 考虑 $n$ 阶同伦群函子 $$ \pi_n = \tau_{\leq 0}\circ \Omega^n \colon \mathcal C_{*/} \to (\mathcal C_{*/})_{\leq 0}. $$ 那么

• 对 $n=0$, $\pi_0$ 给出了等价 $\mathsf{EM}_0(\mathcal C)\simeq \mathcal C_{*/}^{\leq 0}$;
• 对 $n=1$, $\pi_1$ 给出了等价 $\mathsf{EM}_1(\mathcal C)\simeq \mathsf{Grp}(\mathcal C_{\leq 0})$;
• 对 $n\geq 2$, $\pi_n$ 给出了等价 $\mathsf{EM}_n(\mathcal C)\simeq \mathsf{Ab}(\mathcal C_{\leq 0})$.

换言之, 在等价 $$ \Omega^n \colon \mathcal C_{*/}^{\geq n} \simeq \mathsf{Grp}_{\mathbb E_n}(\mathcal C) $$ 中, 两边的子范畴 $\mathsf{EM}_n(\mathcal C)$ 与 $\mathsf{Grp}_{\mathbb E_n}(\mathcal C_{\leq 0})$ 相对应.

记上述等价的逆为 $K(-,n)$.

推论. Eilenberg–MacLane 对象 $K(A,n)$ 是 $A$ 的 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$.

例

一维 CW 复形

一维 CW 复形是 $K(G,1)$, 其中 $G$ 为其基本群.

射影空间

• $\mathbb{R}P^\infty$ 是 $K(\mathbb{Z}_2,1)$.
• $\mathbb{C}P^\infty$ 是 $K(\mathbb{Z},2)$.