Wiki. 连通性 [连通性]
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定义
用截断性定义
…
归纳定义
用同伦群定义
称一个生象 $n$-连通是指其 $n$ 阶及以下同伦群平凡.
称生象
注意. 有些文献中对象的 $n$-连通性的定义与此处可能相差 $1$. 此处的定义的优点在于, 对象的 $n$-连通性与态射的 $n$-连通性相容: 一个对象 $X$ $n$-连通当且仅当唯一的态射 $X\to *$ 是 $n$-连通态射.
在 HoTT 中, 称一个映射 $n$-连通是指其纤维 $n$-连通. 注意传统拓扑学的 $n$-连通映射在HoTT 中称为 $(n-1)$-连通映射.
例
$n=-2$:
- 任何生象都是 $(-2)$-连通的.
- 任何映射都是 $(-2)$-连通的.
$n=-1$:
- $(-1)$-连通生象是非空生象.
- $(-1)$-连通映射是满射.
$n=0$:
- $0$-连通生象就是通常所说的非空连通生象.
$n=1$:
- $1$-连通生象就是通常所说的单连通生象.
性质
用对角线刻画
定理. 设 $n\geq 0$. 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通当且仅当 $f$ 为满射且对角线 $\Delta_f \colon X\to X\times_Y X$ 为 $(n-1)$-连通映射.
用俯意象刻画
命题. 意象 $\mathcal C$ 中, 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通当且仅当 $f^* \colon (\mathcal C_{/Y})_{\leq n} \to (\mathcal C_{/X})_{\leq n}$ 全忠实; 换言之, 对任意 $n$-截断映射 $Z\to Y$, $Z'\to Y$, $$ \operatorname{Hom}_{Y}(Z,Z')\simeq \operatorname{Hom}_X(Z_X,Z'_X) \simeq\operatorname{Hom}_Y(Z_X,Z'). $$ 假设 $f$ $n$-连通, 则 $Z_X \to Z$ 亦 $n$-连通, 而 $Z'\to Y$ $n$-截断, 由正交性得 $\operatorname{Hom}_{Y}(Z,Z')\simeq\operatorname{Hom}_Y(Z_X,Z')$. 另一方面, 假设有上述等价, 令 $Z=Y$, 得 $f\colon X\to Y$ 正交于所有 $n$-截断映射 $Z'\to Y$, 故 $X\to Y$ $n$-连通. $\square$