Wiki. Whitehead 塔 [Whitehead塔]

定义

带基点生象 $*\to X$ 的 Whitehead 塔是对映射 $*\to X$ 作 ($n$-连通, $n$-截断) 分解所得的序列 $$ *\to \cdots \to Z_2 \to Z_1 \to Z_0 \to Z_{-1} \to Z_{-2} =X, $$ 满足

• $*\to Z_n$ 是 $n$-连通映射, 也即 $Z_n$ 是 $(n+1)$-连通生象;
• $Z_n\to X$ 是 $n$-截断映射.

性质

纤维

记号如上. 映射 $Z_n\to Z_{n-1}$ 的纤维为 Eilenberg–MacLane 空间 $K(\pi_{n+1}(X),n)$.

一种显式构造

$Z_n$ 的一种显式构造为 $\mathbf{B}^{n+2}\Omega^{n+2}X$.

与截断的关系

$Z_n$ 是如下的拉回. $$ \begin{array} {ccc} Z_n & \to & *\\ \downarrow && \downarrow\\ X & \to & \tau_{\leq n+1} X. \end{array} $$

例

$n=-1$:

$Z_{-1}\to X$ 是基点处的连通分支.

$n=0$:

$Z_0 \to Z_{-1}$ 是万有覆叠.

正交群

正交群 $\mathrm{O}_n$ 的 Whitehead 塔为 $$ \cdots\to \text{String}_n \to \mathrm{Spin}_n \to \mathrm{SO}_n \to \mathrm{O}_n. $$

相关概念

Postnikov 塔