Wiki. 同伦群 [同伦群]
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观念
同伦群是用球面到一个空间 (生象) $X$ 的映射提取出的 $X$ 的同伦信息.
虽然叫做同伦群, 但 $-2,-1,0$ 阶同伦信息不构成群.
定义
设 $X$ 为生象或更一般的 $\infty$-意象 $\mathcal{C}$ 的对象, $x\colon *\to X$ 为 $X$ 的点, $n\geq 0$ 为整数. 定义 $X$ 在 $x$ 处的 $n$ 阶同伦群为 $n$ 阶环路空间的 $0$-截断: $$ \pi_n(X,x) := \tau_{\leq 0} \Omega^n(X,x). $$ 其中 $\Omega^n(X,x)$ 也是 $(S^n,*)$ 到 $(X,x)$ 的保基点映射空间, 从而是 $\mathbb{E}_n$-群; 那么其截断 $\pi_n(X,x)$ 也是 $\mathbb{E}_n$-群. 但由于其截断生活在一个 $1$-意象中, 故当 $n\geq 2$ 时它已经是 $\mathbb{E}_{\infty}$-群 (Abel 群). 当 $n=0$ 时它不是群, 只是带基点对象.
还有一种 “整体” 的同伦群, 可理解为同时记录了 $X$ 在每一点处的同伦群: 对 $n\geq 0$, 定义 $X$ 的 $n$ 阶同伦对象 $\pi_n(X)\in \mathcal{C}_{/X}$ 如下: $$ \pi_n(X) := \tau_{\leq 0} (X^{S^n}\to X)\in\mathcal{C}_{/X}. $$ $\pi_n(X)$ 是 $\mathcal{C}_{/X}$ 中的 $0$-截断 $\mathbb{E}_n$-群. 当然, $\pi_n(X)$ 在点 $x\colon *\to X$ 处的基变换即是 $\pi_n(X,x)$.
例
- $(-2)$ 阶同伦信息是平凡的.
- $(-1)$ 阶同伦信息是空或非空.
- $0$ 阶同伦信息是连通分支的集合.
- $1$ 阶同伦信息是基本群.
性质
拉回稳定性
命题. 保持余极限和有限极限的函子保持同伦群.
长正合列
命题. 对意象 $\mathcal C$ 中的任意映射 $f\colon X\to Y$, 有 $(\mathcal C_{/X})_{\leq 0}$ 中的长正合列 $$ \begin{aligned} \cdots&\to \pi_n(f) \to \pi_n(X) \to f^*\pi_n(Y) \\ &\to\pi_{n-1}(f) \to \cdots. \end{aligned} $$
其中 $\pi_n(f)$ 是 $f\in \mathcal C_{/Y}$ 的同伦群, 是 $(\mathcal C_{/Y})_{/f} = \mathcal C_{/X}$ 的对象.