Wiki. “相对同伦群” [相对同伦群]

#代数拓扑

同伦群的相对版本.

定义

设 $(X,A)$ 为空间对, $A$ 带有基点 $x_0$. 设 $n$ 为正整数.

定义相对同伦群 $\pi_n(X,A,x_0)$ 的元素为映射 $(I^n,\partial I^n,J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ 的同伦类, 其中 $J^{n-1}$ 是 $\partial I^n$ 去掉一个面 (“开口的盒子”).

另一种等价的定义是, $\pi_n(X,A,x_0)$ 的元素为映射 $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ 的同伦类.

对于 $n\geq 2$, 定义 $\pi_n(X,A,x_0)$ 的群运算如下. 设 $[f],[g] \in\pi_n(X,A,x_0)$ 分别由映射 $f,g \colon (I^n,\partial I^n,J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ 代表. 设 $J^{n-1}$ 是 $\partial I^n$ 去掉了对应于 $x_n=1$ 的面. 定义 $f\cdot g$ 为映射 $$ (x_1,\cdots,x_n)\mapsto\begin{cases} f(2x_1,x_2,\cdots,x_n) & x_1<1/2;\\ f(2x_1-1,x_2,\cdots,x_n) & x_1\geq 1/2.\\ \end{cases} $$ 这个映射的同伦类不依赖于代表元 $f,g$ 的选取.

性质

零元

映射 $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ 代表相对同伦群的零元的充要条件是它可相对于 $S^{n-1}$ 同伦到 $A$ 中.

交换性

对于 $n\geq 3$, $\pi_n(X,A,x_0)$ 是交换群.

长正合列

三元组

对三元组 $(X,A,B,x_0)$ 有相对同伦群的长正合列 $$ \cdots\to \pi_n(A,B,x_0) \to \pi_n(X,B,x_0) \to \pi_n(X,A,x_0) \to \pi_{n-1}(A,B,x_0) \to\cdots. $$

例