Wiki. “近复结构” [近复结构]
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关于向量空间上的近复结构, 见复向量空间.
定义
实流形 $M$ 上的近复结构 (almost complex structure) 是切丛 $TM$ 的自同构 $J$, 满足 $$ J^2 = -1. $$ 此时称 $(M,J)$ 为近复流形.
实 $2n$ 维流形 $M$ 的切丛对应映射 $M \to BGL(2n,\mathbb{R})$, 而近复结构 $J$ 等同于提升 $M\to BGL(n,\mathbb{C}) \to BGL(2n,\mathbb{R})$.
性质
近复流形的实维数是偶数, 这是因为 $\det J^2 = (-1)^{\dim_{\mathbb{R}} M}$, 而 $\det J\in\mathbb{R}$.
近复流形有结构群的约化 $GL(n,\mathbb{C})\to GL(2n,\mathbb{R})$, 其中 $2n=\dim_{\mathbb{R}} M$.
可积性
近复结构 $J$ 可积是指它来自一个复结构. 见复流形.
可积条件与如下条件等价.
- $[T^{0,1}M,T^{0,1}M]\subset T^{0,1}M$;
- $d C^\infty (\wedge^{1,0}M) \subset C^\infty (\wedge^{2,0}M\oplus \wedge^{1,1}M)$.
全纯映射
近复流形的映射 $f\colon (M,J)\to (M',J')$ 称为 $(J,J')$-全纯映射是指, 对任意 $x\in M$ 有如下交换图: $$ \begin{array} {ccc} T_xM&\overset{df}{\to}& T_{f(x)M'}\\ \hspace{-1em}J \downarrow&&\downarrow J\hspace{-1em}\\ T_xM&\underset{df}{\to}& T_{f(x)}M' \end{array} $$ 近复结构 $J$ 可积等价于存在 $(J,i)$-全纯的坐标卡.
当 $(M,J)$ 不可积时, 通常没有 $(M,J)$ 到 $\mathbb{C}$ 的全纯映射.
Riemann 流形
$$ g(JX,JY)=g(X,Y) $$
对于 Levi-Civita 联络 $\nabla$ 若有 $\nabla J = 0$ 则 $(M,g,J)$ 为 Kähler 流形.
相容三元组
相容三元组是指 $M$ 上的 Riemann 度量 $g$, 近复结构 $J$ 与辛形式 $\omega$, 满足以下条件 (即三个结构中的任意一个可由另外两个表示):
- $g(X,Y)=\omega(X,JY)$;
- $\omega(X,Y)=g(JX,Y)$;
- $JX=g^{-1}(\omega(X,-))$.
这与酉群的三选二性质有关.
实 2 维的情形
$2$ 维实流形上的任意近复结构都可积, 这是因为可积性等价于 $\bar\partial^2=0$, 而这在实 $2$ 维情形自动成立.