Wiki. “结构群的约化” [结构群的约化]

主丛的约化

给定群同态 $\varphi\colon H\to G$ 与 $H$-主丛 $\pi\colon P\to X$, 可构造 $G$-主丛 $$ P\times_H G = P \times G \big/ \big((ph,g)\sim (p,hg)\big). $$ 其上有 $G$ 的右作用 $(p,g)g'=(p,gg')$.

若某个 $G$-主丛可表示为 $P\times_H G$ 的形式, 则称其结构群可约化为 $H$.

一般丛的约化

设 $E\to X$ 是以 $G$ 为结构群的丛, 即为某个 $G$-主丛 $P$ 的关联丛 $E=P\times_\rho F$, $\rho$ 为 $G$ 在 $F$ 上的右作用. 若 $P$ 的结构群可约化为 $H$, 则称 $E$ 的结构群可约化为 $H$. 具体地, 若 $P=P'\times_H G$, 则 $$E=(P'\times_H G) \times_\rho F= \{(p',g,f)\}\Bigg/ {\small (p',hg,f)\sim (p'h,g,f)\atop (p',gg',f)\sim (p',g,g'\cdot f) }=P'\times_{\rho'} F,$$ 其中 $\rho'$ 是 $H$ 在 $F$ 上的左作用, $\rho'(h)(f):=\rho(\varphi(h))f$.

分类空间

结构群的约化即是分类空间的函子性: 群同态 $H\to G$ 诱导分类空间的态射 $BH\to BG$.