Wiki. “复向量空间” [复向量空间]

复向量空间是指 $\mathbb{C}$-向量空间.

近复结构

实向量空间上的近复结构是指满足 $J^2=-\operatorname{id}$ 的 $\mathbb{R}$-线性自同构 $J$. 复向量空间等同于带有近复结构的实向量空间.

近复结构会给出自然的定向, 且要求向量空间的实维数是偶数.

复化

由实向量空间 $V$ 可构造自然的复向量空间 $$ V_{\mathbb{C}} := V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}, $$称为 $V$ 的复化 (complexification), 其上的近复结构由 $\mathbf i\in\mathbb{C}$ 给出.

分解

若实向量空间 $V$ 本身带有近复结构 $J$, 则 $J$ 可延拓至 $V$ 的复化 $V_{\mathbb{C}}$ 上, 成为满足 $J^2=-\operatorname{id}$ 的 $\mathbb{C}$-线性自同构. 此时有特征子空间分解 $$ V_\mathbb{C} = V^{1,0}\oplus V^{0,1}, $$ 其中 $V^{1,0}$ 与 $V^{0,1}$ 分别对应 $J$ 的特征值 $\mathbf i$ 与 $-\mathbf i$. 上述同构由如下公式给出: $$ v\mapsto \Big( \frac{1}{2}(v-\mathbf i J v), \frac{1}{2}(v+\mathbf i J v) \Big)\,(v\in V_{\mathbb{C}}). $$ $V_{\mathbb{C}}$ 上有自然的共轭运算, 且 $\overline{V^{1,0}}=V^{0,1}$.

注意, $V_{\mathbb{C}}$ 上有两个不同的近复结构, 一个是 $J$, 一个是 $\mathbf i$. 它们在 $V^{1,0}$ 上相同, 在 $V^{0,1}$ 上相反. 复合映射 $(V,J) \to (V_{\mathbb{C}},J)\to (V^{1,0},\mathbf i)$ 是近复结构的同构.

对偶

设 $V$ 是带有近复结构 $J$ 的实向量空间, 则 $V^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(V,\mathbb{R})$ 上有自然的近复结构 $J(f)(v):= f(Jv)$, 且有 $$ (V^*)^{1,0}\simeq (V^{1,0})^*,\quad (V^*)^{0,1}\simeq (V^{0,1})^*. $$

外积

设 $V$ 是带有近复结构 $J$ 的实向量空间.

定义 $V$ 上的 $(p,q)$-型多重向量 $$ \wedge^{p,q}V:= \wedge^p V^{1,0} \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^q V^{0,1}, $$ 则有 $$ \wedge^k V_{\mathbb{C}}\simeq \bigoplus_{p+q=k} \wedge^{p,q}V. $$ 这是由于对任何 (某个固定的域上的) 向量空间 $V=W_1\oplus W_2$, 总有自然同构 $\wedge^k V \simeq \bigoplus_{p+q=k}\wedge^q W_1\otimes \wedge^q W_2$.

$V$ 上的近复结构自然诱导 $\wedge^k V_{\mathbb{C}}$ 上的近复结构: (待补充)

$\wedge^k V_{\mathbb{C}}$ 上的复共轭将 $\wedge^{p,q}V$ 与 $\wedge^{q,p}V$ 交换. 因此, 说一个元素 $x\in \wedge^k V_{\mathbb{C}}$ 是实的, 就是指 $x\in$ (待补充)

相关概念

复向量丛, Hermite 向量空间