Wiki. “超 Kähler 流形” [超Kähler流形]

超 Kähler 流形是 K3 曲面的高维推广.

定义

设 $(M,g)$ 是 $4n$ 维 Riemann 流形. 若其和乐属于辛群 $\operatorname{Sp}(n)$, 则称其为超 Kähler 流形.

超 Kähler 流形的切丛上有四元数的作用 (即切空间同构于 $\mathbb H^n$), 且这种作用是平行的. 换言之, 存在 $TM$ 的三个自同态 $I,J,K$, 满足 $I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -1$, $\nabla I = \nabla J = \nabla K = 0$ (Levi-Civita 联络). 另外, $I,J,K$ 中每个都给出了 $M$ 上可积的近复结构.

例

$\mathbb H^n$ 很明显是超 Kähler 流形.

Calabi 证明了 $T^* \mathbb{C}P^n$ 上存在一个度量使得它成为超 Kähler 流形.

$4$ 维 Calabi–丘流形是超 Kähler 流形, 因为 $SU(2) \simeq \operatorname{Sp}(1) \simeq \operatorname{Spin}(3)$.