Wiki. “K3 曲面” [K3曲面]

K3 曲面 $X$ 是复 $2$ 维紧流形, 其典范丛平凡 (即 $\omega_X \simeq \mathcal{O}_X$), 且 $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$ (或 $H^{1,0}(X)=0$). 其典范丛平凡也可表述为典范类 (陈类) $K=-c_1(T_X)=0$, 其中 $T_X$ 是 $X$ 的全纯切丛.

K3 曲面最早由 Kummer 研究. 根据 Weil 的记载, K3 曲面的命名是为了纪念 Kummer, Kahler 和 Kodaira.

所有 K3 曲面互相微分同胚.

代数簇

$k$ 上的 K3 曲面是指紧合映射 (proper) 的, 光滑的, 几何连通 (geometrically connected) 的, 满足 $H^1(X,\mathscr O_X)=0$ 的 Calabi–丘流形曲面.

例

$\mathbb P^3$ 中一般的四次曲面是 K3 曲面.

证明. $K \simeq K_{\mathbb P^3} \otimes \mathcal O_{\mathbb P^3}(4) \simeq \mathcal O$.

Kummer 构造

考虑 Abel 簇商掉 $\pm 1$ 的作用, 爆破所有 16 个不动点. 见 Kummer 曲面.