Wiki. “挠率” [挠率]

挠率是与联络有关的一个张量.

流形上的 G-结构

MSE 回答

设 $V$ 是 $n$ 为实或复向量空间, $G\subset GL(V)$ 为 Lie 子群. 设流形 $M$ 上有 G-结构 $P$.

考虑嵌入 $\mathfrak g\to V\otimes V^*$. 定义 $$ \sigma\colon \mathfrak g\otimes V^* \to V\otimes V^*\otimes V^* \overset{\operatorname{id}_V\otimes (\wedge)}{\longrightarrow} V\otimes \wedge^2 V^*. $$ $\sigma$ 的核与余核构成正合列 $$ 0\to \ker(\sigma) \to \mathfrak g\otimes V^* \overset\sigma\to V\otimes \wedge^2 V^* \to \operatorname{coker}(\sigma) \to 0, $$ 其中每一项作为 $G$ 的表示, 则有 $P$ 的关联向量丛 $$ 0\to \rho_1 P \to \rho_2 P \to \rho_3 P \to \rho_4 P \to 0, $$ 其中 $\rho_2 P = \operatorname{ad}(P)\otimes T^*M$, $\rho_3 P = TM \otimes \wedge^2 T^*M$.

$\sigma$ 将 $\mathfrak g$-值 $1$-形式变为 $V$-值 $2$-形式.

两个联络的差是 $\rho_2 P$ 的截面; 联络的挠率是 $\rho_3 P$ 的截面, 其在 $\rho_4 P$ 中的像不依赖于联络的选取, 它是无挠联络存在的阻碍.

仿射群取值的曲率

对于流形 $M$ 线性联络 设想 $TM$ 的结构群为比 $GL_n(\mathbb{R})$ 更大的仿射变换群 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$. 曲率是取值于 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 的 Lie 代数的 $2$-形式. $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 的 Lie 代数可分解为一个 (无穷小) 平移与一个 (无穷小) 线性变换, 而无挠性相当于曲率不含有平移项.

恒等算子的协变外微分

挠率张量的另一解释. 将 $TM$ 上的恒等算子 $\operatorname{id}$ 视为 $TM$-取值的 $1$-形式, 即 $TM\otimes T^*M$ 的截面. 使用协变外微分 $d^\nabla\colon \Omega^1(M,TM)\to\Omega^2(M,TM)$, 可将挠率张量表示为 $$ T=d^\nabla(\operatorname{id}). $$