Wiki. 挠率 [挠率]

一个联络的挠率是一个张量.

定义

设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $G \to \mathrm{GL}(V)$ 为 Lie 群同态, 给出 Lie 代数同态 $$ \mathfrak g\to \mathfrak{gl}(V) \simeq V\otimes V^*. $$ 设流形 $M$ 上有 $G$-结构, 即标架丛约化为 $G$-主丛 $P$. 那么 $P$ 两个联络的差是关联丛 $(\mathfrak g\otimes V^*)_P$ 的截面.

考虑 $G$-表示的同态 $$ \sigma\colon \mathfrak g\otimes V^* \to V\otimes V^*\otimes V^* \overset{\wedge}{\longrightarrow} V\otimes \wedge^2 V^*, $$ 其中 $\wedge$ 为反对称化, 则有关联丛的映射 $$ (\mathfrak g\otimes V^*)_P \to (V\otimes\wedge^2 V^*)_P, $$ 也即 $$ \operatorname{ad}(P)\otimes T^*M\to TM \otimes \wedge^2 T^*M. $$ 联络的挠率是 $TM \otimes \wedge^2 T^*M$ 的截面, 其在上述映射的余核中的像不依赖于联络的选取, 它是无挠联络存在的阻碍.

仿射群取值的曲率

对于流形 $M$ 线性联络 设想 $TM$ 的结构群为比 $GL_n(\mathbb{R})$ 更大的仿射变换群 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$. 曲率是取值于 $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 的 Lie 代数的 $2$-形式. $\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n)$ 的 Lie 代数可分解为一个 (无穷小) 平移与一个 (无穷小) 线性变换, 而无挠性相当于曲率不含有平移项.

恒等算子的协变外微分

挠率张量的另一解释. 将 $TM$ 上的恒等算子 $\operatorname{id}$ 视为 $TM$-取值的 $1$-形式, 即 $TM\otimes T^*M$ 的截面. 使用协变外微分 $d^\nabla\colon \Omega^1(M,TM)\to\Omega^2(M,TM)$, 可将挠率张量表示为 $$ T=d^\nabla(\operatorname{id}). $$