Wiki. “Kodaira–Serre 对偶” [Kodaira--Serre对偶]

设 $M$ 是 $m$ 维复流形, $E\to M$ 为全纯向量丛, 其对偶 $E^*$ 也是全纯向量丛.

设 $\alpha\in\wedge^{p,q}(E)$ 是光滑 $(p,q)$-形式, $\beta \in \wedge^{m-p,m-q}(E^*)$, 取其外积, 求值得 $\langle\alpha\wedge\beta\rangle \in \wedge^{m,m}(M)$, 再积分得 $$ (\alpha,\beta):= \int_M \langle \alpha\wedge\beta \rangle. $$ 可以证明这个配对给出了同构 $$ \mathcal A^{m-p,m-q}(E^*) \simeq \mathcal A^{p,q}(E)^*. $$ 进一步, $$ \mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(M,E) \simeq \mathcal H^{m-p,m-q}(M, E^*) ^*. $$

在 $p=0$ 的特殊情形, 有 $$ H^q(M,\mathcal O(E)) \simeq H^{m-q}(M,\mathcal O(E^*\otimes K_M)), $$ 其中 $O(E^*\otimes K_M)$ 正是 $\Omega^m(E^*)$.