Wiki. “GAGA” [GAGA]

GAGA 大致是说解析的性质可用多项式完全反映出来.

$\mathbb{C}$ 上的代数簇 $X$ 可赋予解析空间 $X^{\text{an}}$. 恒等映射 $\operatorname{id}\colon X^{\text{an}} \to X$ 是赋环空间的态射.

定理 (Serre). 设 $X$ 为射影簇, 则对 $X$ 上的凝聚层 $F$, $H^i(X,F) \simeq H^i(X,F^{\text{an}})$.

由于 $$ H^*(X,F)\simeq H^*(\mathbb P^n,i_*F), $$ $$ H^*(X^{\text{an}},F)\simeq H^*(\mathbb P^n,i_*(F^{\text{an}})), $$ 只需要证 $\mathbb P^n$.

结论. $H^*(\mathbb P^n,\mathcal O(m)) \simeq H^*(\mathbb P^{n,\text{an}},\mathcal O(m)^{\text{an}})$.

定理 (Cartan Thm A). 若 $F\in \text{Coh}(\mathbb P^{n,\text{an}})$, 则对充分大的 $n$, $F\otimes\mathcal O(n)$ 由全局截面生成.

相关概念: Stein 流形