Wiki. “层” [层]
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定义
作为反变函子
拓扑空间 $X$ 上的预层 (presehaf) 是 $X$ 的开集范畴 $\mathsf {Open}(X)$ 到另一范畴的反变函子. 具体地说, 对开集 $V\subset U$ 有限制映射 $\rho_V^U\colon S(U) \to S(V)$.
作为平展空间
设 $X$ 为拓扑空间, $X$ 上的集合层可视为局部同胚 $\pi\colon S\to X$, 其中 $S$ 称为平展空间 (espace étalé). 取其 (局部) 截面, 即得前面定义的层.
层化
给定预层 $S\colon \mathsf {Open}(X)^{\text{op}}\to \mathsf {Set}$, 如下可构造一个层: $$ S = \bigcup_{x\in X} S_x, \quad S_x =\underset{x\in U}{\lim_{\longrightarrow}} S(U), $$ 且 $S$ 的拓扑由形如 $\{f_x : x\in U\}\,(f\in S(U))$ 的集合生成. 注意投影 $\pi\colon S\to X$ 给出 $\{f_x : x\in U\}$ 到 $U$ 的同胚.
对于 $x$ 的邻域 $U,V$ 与 $f\in S(U), g\in S(V)$, 两者在 $S_x$ 中相等 (即 $f_x=g_x$) 当且仅当存在 $W\subset U\cap V$, $\rho_W^U f = \rho_W^V g$.
例
设 $D\subset M$ 是复子流形, 定义 $$ \mathcal I_D(U) = \{\text{$D$ 上消失的全纯函数}\}, $$ 则 $\mathcal I_D$ 是一个层, 称为 $D$ 的理想层.