Wiki. 相对射影谱 [相对射影谱]

观念

相对射影谱是射影谱的相对版本.

定义

设 $S$ 是概形 $Y$ 上的拟凝聚 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次 $\mathcal O_Y$-代数. 定义其相对射影谱 $\operatorname{Proj}_Y(S)$ 为 $Y$ 上的概形, 使得对于仿射开集 $U\subset Y$, $\operatorname{Proj}_Y(S)|_U\simeq\operatorname{Proj}(S(U))$.

函子式

相对射影谱 $\operatorname{Proj}(S)$ 表示的函子 $\operatorname{Proj}(S) \colon \mathsf{Sch}_{/Y}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ 为 $$ (p\colon X\to Y) \mapsto \{(L\colon X\,\text{上的线丛},\psi\colon p^*S \twoheadrightarrow \operatorname{Sym}_{\mathcal O_X}L)\}/\text{同构}. $$ 注意 $\psi\colon p^*S \twoheadrightarrow \operatorname{Sym}_{\mathcal O_X}L$ 为满射等价于 $\psi_1\colon S_1\to L$ 为满射.

性质

例

概形 $X$ 上线丛的相对射影谱就是 $X$ 自身.

对于向量丛 $E$, $\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}_{\mathcal O_X}E = P(E)$ 是其射影丛.