Wiki. “复定向上同调理论” [复定向上同调理论]

广义上同调中的定向

对于环谱 $E$, 称其复可定向是指 $E^2(\mathbb{C}P^\infty)\to E^2(S^2)$ 为满射; 其定向是 $E^2(\mathbb{C}P^\infty)$ 的元素.

环谱的定向是第一陈类的推广: 环谱 $E$ 的定向给出一个同构 $E^*(\mathbb CP^\infty)\simeq E^*(*)[t](t.md)$. 由此可以定义 $E$-值第一陈类 $c_1^E=t$. $E$-值第一陈类与线丛的张量积满足 $$ c_1^E(L\otimes L') \simeq f(c_1^EL,c_1^E L'), $$ 其中 $f$ 为交换环 $R=E^{\text{even}}(*)$ 上的形式群律. 另外, 此时 $t$ 是 $\mathbb{C}P^\infty$ 上万有线丛的 Thom 类.

$R$ 上的形式群律等同于 $\operatorname{Spec}R$ 到形式群律模叠 $\operatorname{Spec}L/G$ 的映射.

例

KO 不是复定向上同调理论.