Wiki. “形式群律” [形式群律]
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设 $R$ 为含幺交换环. 称满足如下条件的形式幂级数 $F\in R[x,y](x,y.md)$ 为 $R$ 上的形式群律:
- (单位律) $F(x,0)=x$, $F(0,y)=y$;
- (结合律) $F(F(x,y),z) =F(x,F(y,z))$;
- (交换律) $F(x,y)=F(y,x)$.
由定义, $R$ 上的形式群律形如 $$ F(x,y)=x+y+\sum_{ij}a_{ij}x^iy^j, $$ 满足 $a_{ij}=a_{ji}$ 以及结合律要求的一些关系. 这样一个形式群律等同于环 $L$ 到 $R$ 的同态, 其中 $$ L=\mathbb{Z}[a_{ij}]/(\cdots), $$ 称之为 Lazard 环.
例
形式群律与MU有关. 复配边环 $\Omega_U$ 上有一个形式群律 $$ F_U(x,y)=x+y+\sum_{k,l\geq 1}\alpha_{kl}x^ky^l, $$ 其中 $\alpha_{kl} \in\Omega_U^{-2(k+l-1)}$.
$\pi_\bullet MU \simeq MU_*(\text{pt}) \simeq\mathbb{Z}[x_1,x_2,\cdots]$, 其中 $x_i$ 的阶数为 $2i$.
定理 (Quillen). 典范的同态 $L \to \pi_\bullet MU$ 是同构.