Wiki. “形式谱” [形式谱]

定义进制环 (adic ring) 为环 $A$ 带有一个理想 $I$. 定义进制环 $(A,I)$ 的形式谱为 $$ \operatorname{Spf}A = \operatorname{colim}_n\operatorname{Spec}(A/I^n). $$

另一种定义. 对于交换环 $R$, 定义进制 $R$-代数 (adic $R$-algebra) 为 $R$-代数 $A$ 带有一个同态 $A\to R$, 此时那个理想是这个同态的核; 考虑进制 $R$-代数的范畴 $\mathsf {AdicAlg}_R$, 形式谱是这个范畴上的可表函子 $$ \operatorname{Spf}A=\operatorname{Hom}_{\mathsf {AdicAlg}_R}(A,-). $$

另一种定义. 定义环上的线性拓扑为一些理想及其陪集作为开集基生成的拓扑. 带有线性拓扑的环以及连续同态构成范畴 $\mathsf {LRing}$. 不带拓扑的环视为离散环, 构成满子范畴 $\mathsf {Ring}\hookrightarrow \mathsf {LRing}$. 定义 $\operatorname{Spf}A\colon \mathsf {Ring}\hookrightarrow\mathsf {LRing}\to\mathsf {Set}$, $$ \operatorname{Spf}A=\operatorname{Hom}_{\mathsf {LRing}}(A,-). $$ 可以证明 $$ \operatorname{Spf}A\simeq \Big(B\mapsto \operatorname{colim}_{\text{开理想}\,I\subset A}\operatorname{Hom}_{\mathsf {Ring}}(A/I,B)\Big). $$ 也即 $$ \operatorname{Spf}A\simeq\operatorname{colim}_I\operatorname{Spec}A/I. $$ 最后这种定义似乎最为广泛. 对于带线性拓扑的环 $R$, 定义其完备化 (环)为 $$ \widehat {R} := \operatorname{lim}_I R/I. $$

相关概念

形式群律