Wiki. “Thom 类” [Thom类]

设 $\xi\colon V\to X$ 是带定向的向量丛, $\mathrm {Th}(\xi)$ 为 Thom 谱, 则有同构 $$ \mathrm {Th}(\xi)\wedge H\mathbb{Z} \simeq X_+ \wedge H\mathbb{Z}. $$

定理 (Thom) 对于局部紧空间 $X$, 记 $\check H_c^*(X)$ 为紧支集 Čech 上同调, 定义为 $\operatorname{ker}(H^*(\dot X) \to H^*(\infty))$. 设 $X$ 为紧拓扑空间, $V\to X$ 是带定向的 $n$ 维向量丛, 那么存在唯一的上同调类 $u_V\in \check H_c^n(V)$, 使得它限制在每个纤维 $V_x$ 上等同于定向类, 且有同构 $$ \smile u_V\colon \check H_c^i(X)\to \check H_c^{i+n}(V). $$

Thom 类在 $X$ 上的限制为 Euler 类.

性质

设 $V_1$, $V_2$ 分别为 $X_1$, $X_2$ 上的向量丛, 则两个向量丛的 Descartes 乘积的 Euler 类等于各自 Euler 类的积: $$ u_{V_1\times V_2} = u_{V_1} \smile u_{V_2}. $$