Wiki. “广义上同调中的定向” [广义上同调中的定向]

设 $E$ 维环谱, 向量丛的 $E$-定向 (又叫 $E$-Thom 类) 是指与其 Thom 空间 (作为球谱丛) 相关联的 $E$-丛的平凡化.

对于 E∞-环 $R$, 记 $\mathrm {GL}_1(R)$ 为 $\Omega^\infty R$ 中对应 $\pi_0(R)$ 可逆元的元素的子空间. 它是一个无穷环路空间. (见 ∞-向量丛.) 考虑 J-同态 $\mathrm O \to\mathrm {GL}_1(\mathbb S)$

设 $V\to X$ 为 $n$ 维向量丛, 定义其 $E$-定向为 Thom 空间 $\mathrm {Th}(V)$ 的 $n$ 阶约化 $E$-上同调的元素, 满足限制在每个纤维上为 ($S^n$ 的 $n$ 阶约化 $E$-上同调的) 生成元.

例

设 $E$ 为环谱, $X$ 为 $n$ 维 (可能带边) 流形. $X$ 的一个 $E$-定向是 $E_n(X,\partial X)$ 中的一个类, 满足对任意内部点 $x\in X$, 它限制到 $E_n(X,X-\{x\})\simeq E_n(D^n,S^{n-1})\simeq E_0(*)$ 的生成元.

回忆对于映射 $f\colon B\to\mathrm {BGL}(n)$, 流形 $X$ 上的一个 $(B,f)$-结构是其切丛的分类映射的提升 $$ \begin{array} {ccc} && B \\ & \nearrow & \downarrow f\hspace{-1em} \\ X & \to & \mathrm {BGL}(n). \end{array} $$