Wiki. “万有丛” [万有丛]

Milnor: Construction of Universal Bundles

$n$-万有主丛是指全空间 $(n-1)$-连通的主丛.

$$ \begin{array}{rcccl} P&\to&P\times EG&\to&EG\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\pi\\ M&\to s& P\times_G EG &\to & BG \end{array} $$

Milnor 的构造

命题. 任意 (足够好的) 连通空间 $X$ 上存在 $\infty$-万有丛.

证明. 选定基点 $x_0\in X$, 定义 $PX$ 为 $X$ 上所有始于 $x_0$ 的道路的空间, 道路的终点给出映射 $p\colon PX\to X$. 定义环路空间 $\Omega X=p^{-1}(x_0)$. 那么 $PX$ 是可缩的 $\Omega X$-丛.

定理 (Milnor). $X$ 上任何 $G$-主丛都诱导自拓扑群同态 $\Omega X \to G$.