Wiki. 中山引理 [中山引理]

观念

中山引理 (Nakayama lemma) 说的是拟凝聚层在局部的一些信息能由一点上的信息 (纤维函子) 决定.

陈述

一个较强的引理

结论. 设 $R$ 是交换环, $I\subset R$ 是理想, $M$ 是 $n$ 个元素生成的 $R$-模. 那么对任意同态 $f\colon M\to IM$, 存在 $a_1,\cdots,a_n\in I$ 使得 $$ f^n + a_1 f^{n-1} + \cdots + a_n = 0. $$

这个结论是 Cayley–Hamilton 定理的直接应用.

考虑 $f=\mathrm{id}$, 得到如下结论.

结论. 设 $R$ 是交换环, $I\subset R$ 是理想, $M$ 是 $n$ 个元素生成的 $R$-模, $IM = M$. 那么存在 $a\in I$ 使得 $$ (1+a) M = 0. $$

特例: 局部环与纤维

命题. 设 $R$ 是局部环, 极大理想为 $\mathfrak m$, 剩余域为 $k= R/\mathfrak m$. 对于有限生成 $R$-模 $M$, 若 $M / \mathfrak m M = 0$ (即 $M\otimes_R k$ = 0), 则 $M = 0$. 换言之, 纤维函子 $$ \mathsf{Mod}(R)_{\mathrm{fg}} \to \mathsf{Vect}_{k} $$ 保守.

证明. 若 $M / \mathfrak m M = 0$, 则 $M = \mathfrak m M$, 而 $1 + \mathfrak m \subset R^\times$, 故前述结论给出 $M=0$.

拟凝聚层消失处为开集

设 $F$ 是概形 $X$ 上的局部有限生成拟凝聚层. 定义 “$F$ 消失之处” $U_F\colon\mathsf{Aff}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, $$ \operatorname{Spec} B\mapsto \{f\colon \operatorname{Spec} B\to X\mid f^*F\simeq 0\}, $$ 则 $U_F\to X$ 为开子概形. 事实上, $U_F$ 是理想 $\operatorname{Ann}(F)$ 对应的闭子概形的补空间.

等价的陈述: 设 $F$ 是概形 $X$ 上的局部有限生成拟凝聚层. 若对于某个域 $k$ 以及态射 $f\colon \operatorname{Spec} k\to X$ 有 $f^*F\simeq 0$, 则存在仿射开子概形 $j\colon U\to X$ 包含 $f$ (即 $f$ 穿过 $U$), 使得 $j^*F\simeq 0$.