Wiki. “谷山–志村猜想” [谷山–志村猜想]

谷山–志村猜想的大意是说每个有理椭圆曲线都来自模形式.

表述

• $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线都可由某个级数 $N$ 的经典模曲线 $X_0(N)$ 经过一个整系数的有理映射得到, 称之为 $N$ 级的模参数化 (modular parametrization).
• 对任意有理椭圆曲线 $y^2= Ax^3 + Bx^2+ Cx+ D$, 存在 $N$ 级的非常值模函数 $f(z),g(z)$, 使得 $f(z)^2 = A g(z)^2 + C g(z) + D$ (也即有同样的 Dirichlet L-级数).
• 设有理椭圆曲线 $E$ 有导子 $N_E$, 则存在尖点形式 $f$ 使得 $a_1(f)=1$, 且对所有素数 $p$ 有 $a_p(f)=a_p(E)$.

与 Langlands 对应的关系

The Taniyama conjecture says that the L-series of an elliptic curve over Q is automorphic (more specifically, arises from a modular form). Langlands conjectures that every L-series arising from algebraic geometry is automorphic (in the sense he defined).

Langlands 对应