Wiki. “不变多项式” [不变多项式]

定义

考虑 Lie 群 $G$ 在 Lie 代数 $\mathfrak g$ 上的伴随作用, 它诱导 $\mathfrak g^*$ 上对偶的作用, 称为余伴随作用. 余伴随作用自然地延拓到对称代数 $\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)$ 上. 不变多项式是指 $\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)$ 中在余伴随作用下不变的元素. 不变多项式环记作 $\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)^G$, 或 $\mathbb{C}[\mathfrak g]^G$.

不变多项式环的谱

$\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[\mathfrak g]^G)$ 是所谓 “良好的商空间” (good quotient) $\mathfrak g // G$ (见轨形). 其中的点对应于 $\mathfrak g$ 的 (闭) $G$-轨道, 对应于共轭类中半单的元素 (由一个矩阵的特征值构成的 “对角矩阵”). 于是有 $$ \mathfrak g // G \simeq \mathfrak h / W (=\mathbb{C}^n / S_n). $$