Wiki. “稳定化” [稳定化]

每个具有有限极限的无穷范畴都存在稳定化, 即自由地变成稳定无穷范畴. 稳定化可以构造为谱对象的范畴.

可表现带基点范畴 $\mathcal C$ 的稳定化是 $\mathrm {Pr}^{\mathrm L}$ 中的余极限 $$ \operatorname{Stab}\mathcal C =\operatorname{colim}(\mathcal C\overset{\Sigma}{\to}\mathcal C\overset{\Sigma}{\to}\cdots), $$ 即形式上令 $\Sigma$ 可逆得到的范畴 (参见形式取逆). 为了计算该余极限, 注意到它等价于 $\mathrm {Pr}^{\mathrm R}\simeq (\mathrm {Pr}^{\mathrm L})^{\mathrm {op}}$ 中的极限 $$ \operatorname{lim}(\cdots\overset{\Omega}{\to}\mathcal C\overset{\Omega}{\to}\mathcal C). $$ $\mathrm{Pr}^{\mathrm{R}}$ 中的极限可在 $\mathsf{Cat}_{\infty}$ 中计算. 记上述极限到各个分量的投影为 $\Omega^{\infty -n}$, 那么 $\operatorname{Stab}\mathcal C$ 的一个对象 $X$, 有一列空间 $X_n :=\Omega^{\infty -n}X$ 以及一族等价 $$ X_{n}\simeq\Omega X_{n+1}. $$ 这是传统的谱的定义.

性质

稳定化 $\operatorname{Stab}\mathcal C$ 继承 $\mathcal C$ 中的有限极限.

$\mathcal C$ 与 $\operatorname{Stab}\mathcal C$ 之间有伴随 $\Sigma^\infty \dashv \Omega^\infty$ 以及更一般的 $\Sigma^{\infty -n}\dashv\Omega^{\infty -n}$. 对于 $X\in\operatorname{Stab}\mathcal C$ 有 $$ X\simeq\operatorname{colim}\Sigma^{\infty -n}\Omega^{\infty-n}X. $$