Wiki. “形式取逆” [形式取逆]

例

环的局部化

$A$ 为交换环, $f\in A$ 为任意元素, 定义 $$ A_f = \operatorname{colim}(A\overset{f}{\to}A\overset{f}{\to}\cdots). $$ 它是从 $A$ “形式上取 $f$ 的逆” 得到的环.

范畴的稳定化

可表现带基点范畴 $\mathcal C$ 的稳定化是 $\mathrm {Pr}^{\mathrm L}$ 中的余极限 $$ \operatorname{Stab}\mathcal C =\operatorname{colim}(\mathcal C\overset{\Sigma}{\to}\mathcal C\overset{\Sigma}{\to}\cdots), $$ 即形式上令 $\Sigma$ 可逆得到的范畴. 为了计算该余极限, 注意到它等价于 $\mathrm {Pr}^{\mathrm R}\simeq (\mathrm {Pr}^{\mathrm L})^{\mathrm {op}}$ 中的极限 $$ \operatorname{lim}(\cdots\overset{\Omega}{\to}\mathcal C\overset{\Omega}{\to}\mathcal C). $$