Wiki. “链复形范畴的同伦范畴” [链复形范畴的同伦范畴]

本页介绍链复形无穷范畴的同伦范畴.

加性范畴 $\mathcal A$ 的链复形范畴 $\mathsf {Ch}(\mathcal A)$ 的链复形范畴的同伦范畴 $\mathsf K(\mathcal A)$ (态射是链映射的同伦类) 是三角范畴.

定义 $\mathsf K(\mathcal A)$ 中的逐项分裂序列 (termwise splitting sequence) $0\to A \to B\to C \to 0$ 为存在收缩 $r\colon B\to A$ 与截面 $s\colon C\to B$ 的短正合列.

例. 对于 $\alpha\colon A\to B$, 映射锥 $C=B\oplus A[1]$, $C^n=B^n\oplus A^{n+1}$ 构成逐项分裂序列 $$ 0\to B\to C \to A[1]\to 0,$$其中 $C$ 上的微分 $$ d=\begin{pmatrix} d_B & \alpha \\ & -d_A \end{pmatrix}. $$

“几乎所有” 特殊三角都是映射锥.

范畴 E(A)

令 $E(\mathcal A)$ 为 $\mathsf K(\mathcal A)$ 中正合列的范畴, 它是

• 严格满子范畴 (对同构封闭);
• 饱和子范畴 (对取直和项封闭);
• 三角子范畴 (特殊三角中两者属于这个子范畴, 则第三者属于这个子范畴).

定义 $\mathsf K(\mathcal A)$ 的子范畴 $$ E(\mathcal A)^\perp = \{X\in\mathsf K(\mathcal A):\operatorname{Hom}(E,X)=0\,\forall E\in E(\mathcal A)\}. $$

若一个对象到 $E(\mathcal A)^{\perp}$ 中的对象有拟同构, 则这个拟同构的映射锥为 $E(\mathcal A)$ 的对象.

例. 内射对象组成的下有界链复形属于 $E(\mathcal A)^\perp$. (这说明内射下有界复形在定义导出范畴时是一种良好的 “替代”.)

导出范畴作为 Verdier 商: $$ \begin{array} {ccccc} E(\mathcal A) &\to& \mathsf K(\mathcal A) &\to& \mathsf D(\mathcal A)\\ && \uparrow & \nearrow \text{equivalence}\hspace{-5em}&\\ && E(\mathcal A)^\perp && \end{array} $$ 凝聚层的导出范畴的半正交分解 (?)