Wiki. 概形闭包 [概形闭包]

定义

设 $i\colon Y\to X$ 是拟紧的局部闭嵌入. 那么 $i_*\mathcal O_Y$ 是拟凝聚 $\mathcal O_X$-模. 考虑理想 $$ \mathcal I = \ker (\mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Y). $$ 定义 $Y$ 的概形闭包 (scheme-theoretic closure) 为商代数的相对谱 $$ \overline{Y} := \operatorname{Spec}_X (\mathcal O_X / \mathcal I). $$ 由相对谱的性质, 代数同态 $\mathcal O_X / \mathcal I \to i_*\mathcal O_Y$ 给出 $X$-概形的映射 $Y \to \overline{Y}$.

性质

命题. 设 $i\colon Y\to X$ 是拟紧的局部闭嵌入, 则 $Y\to \overline{Y}$ 是开嵌入.

证明. 设 $i \colon Y\to X$ 是一个闭嵌入 $i'\colon Y\to U$ 后接一个开嵌入 $U\to X$.

因为 $U\to X$ 为开嵌入, 所以 $(i_*\mathcal O_Y)|_U = i'_*\mathcal O_Y$.

因为 $i'_*$ 为闭嵌入, $\mathcal O_U \to i'_*\mathcal O_Y$ 为 (集合值层的) 满射. 又 $\ker (\mathcal O_U \to i'_*\mathcal O_Y) = \ker (\mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Y)|_U = \mathcal I|_U$, 故 $$ i'_*\mathcal O_Y=\mathcal O_U / \mathcal I|_U= (\mathcal O_X /\mathcal I)|_U. $$ 那么 $$ \begin{aligned} \overline{Y}\times_X U &\simeq\operatorname{Spec}_U ((\mathcal O_X /\mathcal I)|_U)\\ &\simeq\operatorname{Spec}_U (i'_*\mathcal O_Y)\\ &\simeq Y. \end{aligned} $$ 因此 $Y\to\overline{Y}$ 是 $U\to X$ 的基变换, 从而是开嵌入.