Wiki. Grothendieck 拓扑 [Grothendieck拓扑]

定义

使用范畴上的筛

小范畴 $C$ 上的 Grothendieck 拓扑是对每个对象 $c\in C$ 指定一族筛, 称作覆盖筛 (covering sieve), 满足如下条件.

  • 最大筛 $\{f: d \to c, d\in C\}$ 是覆盖筛;
  • (稳定性) 若 $S$ 是 $c$ 的覆盖筛, 则对任意 $h\colon d\to c$, $h^*(S)$ 是 $d$ 的覆盖筛;
  • (传递性) 若 $S$ 是 $c$ 的覆盖筛, $R$ 是 $c$ 上另一个筛, 使得对任意 $h\colon d\to c$, $h^*(R)$ 都是覆盖筛, 则 $R$ 也是覆盖筛.

特别地, 包含一个覆盖筛的筛也是覆盖筛.

使用意象中的态射族

参考 ABFJ-II.

定义. 意象 $\mathcal{C}$ 中的 Grothendieck 拓扑是满足如下条件的态射族 $\tau$:

  • $\tau$ 关于基变换封闭;
  • $\tau$ 可被沿满射的基变换探测; 具体地, 对态射 $f$ 与满射 $g$, 若 $f$ 沿 $g$ 的拉回属于 $\tau$, 则 $f$ 属于 $\tau$;
  • $\tau$ 关于复合封闭;
  • 若 $fg$ 属于 $\tau$, 则 $f$ 属于 $\tau$.

性质