Wiki. “自然数对象” [自然数对象]

对于意象 $\mathcal E$, 若存在对象 $\mathbb N$, 以及两个箭头 $$ 1\overset{0}{\longrightarrow} \mathbb N \overset{s}{\longrightarrow} \mathbb N, $$ 使得此图为所有形如 $1\to X\to X$ 的图中的始对象, 则称 $\mathbb N$ 为 $\mathcal E$ 的自然数对象 (n. n. o.)

自然数对象是集合意象中自然数集 $\mathbb N$ 的推广. 自然数对象的存在性又叫无穷公理 (axiom of infinity).

性质

设意象 $\mathcal E$ 有自然数对象 $\mathbb N$, $\mathcal F$ 为另一意象, 有一对伴随函子 $$ g_*\colon \mathcal F \to \mathcal E,\quad g^*\colon \mathcal E\to\mathcal F,\quad g^*\dashv g_*, $$ 且满足 $g^* 1 =1$, (特别地, 几何态射 $g\colon \mathcal F\to\mathcal E$ 满足上述性质), 则 $g^*\mathbb N$ 为 $\mathcal F$ 的自然数对象.

例如, 由 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$ 与 $\mathsf {Set}$ 之间的全局截面 $\Gamma$ 与常值预层 $\Delta$ 的伴随, 可得 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$ 的自然数对象是常值预层 $\Delta(\mathbb N)$.