Wiki. 可扩展性 [可扩展性]

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限和 (包括始对象).

称范畴 $\mathcal C$ 可扩展 (extensive) 是指如下等价条件成立:

• 对任意对象 $X,Y$, “求和函子” $\mathcal C_{/X} \times\mathcal C_{/Y} \to \mathcal C_{/(X+Y)}$, $(Z_1\to X, Z_2\to Y) \mapsto (Z_1+Z_2 \to X+Y)$ 为等价;
• 对任意对象到和的嵌入 $X \to X+Y$, 沿该映射总能作拉回 $\mathcal C_{/(X+Y)} \to \mathcal C_{/X}$; 且两个对象 $X,Y$ 作为 $X+Y$ 的子对象的交为 $0$ (始对象).

假设第一个条件成立, 那么 “求和函子” 的逆给出了沿 $X\to X+Y$, $Y\to X+Y$ 的拉回; 特别地, 因为 $Y\to X+Y$ 是 $0\to X$ 与 $Y\to Y$ 的和, 所以它拉回到 $X,Y$ 上的结果分别为 $0\to X,Y\to Y$. 故 $X,Y$ 作为 $X+Y$ 的子对象的交为 $0$.

假设第二个条件成立, 那么对任意态射 $Z\to X+Y$, 可分别将其拉回到 $X,Y$ 上, 这给出了函子 $\mathcal C_{/(X+Y)} \to \mathcal C_{/X} \times\mathcal C_{/Y}$.