Wiki. “Boole 意象” [Boole意象]

定义

若意象 $\mathcal E$ 中的内蕴 Heyting 代数 $\Omega$ (即子对象分类器) 实为内蕴 Bool 代数, 则称其为 Bool 意象.

命题. 对于意象 $\mathcal E$, 下列条件等价.

• $\mathcal E$ 为 Bool 意象;
• 否定算子 $\neg\colon \Omega\to\Omega$ 满足 $\neg\neg = \operatorname{id}$;
• 对任意对象 $E\in\mathcal E$, Heyting 代数 $\operatorname{Sub}(E)$ 实为 Boole 代数;
• 对任意子对象 $S\rightarrowtail E$, 有 $\neg S \vee S = E$;
• 态射 $\text{true}\colon 1\to\Omega$ 和 $\text{false}=\neg\circ \text{true}$ 给出同构 $1+1\simeq \Omega$.