Wiki. “Heyting 代数” [Heyting代数]

Heyting 代数是一个偏序集, 存在所有有限的积和余积, 且构成Descartes 闭范畴. 换言之, Heyting 代数中有 $0$, $1$, 指数对象 $y^x$ (通常记作 $x\Rightarrow y$), 而指数对象由如下的伴随关系刻画: $$ z\leq (x\Rightarrow y) \quad \text{iff} \quad z\wedge x \leq y. $$

性质

由基本伴随关系, 可得 (实际上是伴随的单位和余单位态射) $$ x\leq \big( y\Rightarrow (x\wedge y) \big),\quad y\wedge (y\Rightarrow x) \leq x. $$ 而由 $1^x\simeq 1$, $x^1\simeq x$ 可得 $$ (x\Rightarrow 1) =1,\quad (1\Rightarrow x) =x. $$ 由于函子 $x\Rightarrow -$ 有右伴随, 它保持极限, 即 $$ (x\Rightarrow (y\wedge z)) = \big( (x\Rightarrow y) \wedge (x \Rightarrow z)\big). $$ 等式 $x^{y\times z}\simeq (x^y)^z$ 成为 $$ ((y\wedge z)\Rightarrow x) = (z\Rightarrow (y\Rightarrow x)). $$

例

对拓扑空间 $X$, 其上开集构成的偏序集为 Heyting 代数. 对于开集 $U, V$, $$ (U \Rightarrow V) = \bigcup_{W\cap U\subset V} W. $$ 每个 Boole 代数都是 Heyting 代数, 反之则不然.