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定义

初等定义

定义同调理论为满足如下条件 (Eilenberg–Steenrod 公理) 的函子 $$ H\colon \mathsf{Top}\to\mathsf{Chain}(\mathbb{Z}) $$ (这里 $\mathsf{Chain}(\mathbb{Z})$ 是 $\mathbb{Z}$-模链复形构成的 $1$-范畴):

• $H$ 将同伦变为链同伦; (这是说 $H$ 表现了 $\infty$-范畴之间的函子 $\mathsf{Ani}\to\mathsf{Chain}(\mathbb{Z})$, 这里 $\mathsf{Chain}(\mathbb{Z})$ 是关于链同伦等价局部化得到的 $\infty$-范畴, 见链复形 $\infty$-范畴.)
• $H$ 将无交并变为直和; (这是说 $H$ 保持余积)
• (切除法则, 或称 Mayer–Vietoris 法则) 设 $Z\to X$, $Z\to Y$ 为闭 CW 子复形, 则 $H(X\cup_Z Y)\simeq \operatorname{Cone}(H(Z)\to H(X)\oplus H(Y))$. (这基本上就是说 $H$ 保持 $\infty$-范畴意义下的推出, 因为映射锥表现的正是 $\infty$-范畴中的推出.)

对任意 Abel 群 $G$, 存在 (同伦等价意义下) 唯一的同调理论 $H$ 使得 $H(*)\simeq G$.